5-Logik-Übung

1. Wiederholen Sie aus der Grundschulzeit das schriftliche Rechnen mit den vier Grundrechenarten.

Schriftliche Addition

$$\begin{array}{r}1024\\ +512\\ 1536\end{array}$$

Schriftliche Subtraktion

$$\begin{array}{r}2048\\ -256\\ 1792\end{array}$$

Schriftliche Multiplikation

$$\begin{array}{r}128\cdot 64\\ 7680\\ +512\\ 8192\end{array}$$

Schriftliche Division

$$\begin{array}{r}8192÷64=128\text{Rest}0\end{array}$$

 8192 : 64 = 128  
 64
 ----  
 179  
 128
 ---- 
  512  
  512  
 ----
    0

---

2. Übersetzen Sie Zahlen von Dezimal- ins Dualsystem und umgekehrt.

Anleitung zur Umwandlung von Dezimal in Binär

• Beginne mit der Dezimalzahl, die du in das Binärsystem umwandeln möchtest. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 18.
• Teile die Zahl durch 2 und notiere den Rest (0 oder 1). Dieser Rest ist die Binärziffer
• Teile das Ergebnis der vorherigen Division erneut durch 2 und notiere wieder den Rest. Fahre so lange fort, bis das Ergebnis der Division 0 ist.
• Die Binärzahl setzt sich aus den notierten Resten zusammen, wobei der erste Rest die niedrigste Ziffer (rechts) und der letzte Rest die höchste Ziffer (links) darstellt.
• Beispiel für die Umwandlung von 18 in Binär:

Division	Ergebnis	Rest
$18÷2$	$9$	$0$
$9÷2$	$4$	$1$
$4÷2$	$2$	$0$
$2÷2$	$1$	$0$
$1÷2$	$0$	$1$

• Nun schreibe die Reste von unten nach oben, um die Binärzahl zu erhalten: 10010.
• Die Zahl 18 im Dezimalsystem entspricht also der Binärzahl 10010.

Dezimal in Binär

Zahl: 3

• Binär: $$\begin{array}{rl}3÷2& =1R1\\ 1÷2& =0R1\end{array}\uparrow$$ $Bin\ddot{a}r:11$

Zahl: 4

• Binär: $$\begin{array}{rl}4÷2& =2R0\\ 2÷2& =1R0\\ 1÷2& =0R1\end{array}\uparrow$$ $Bin\ddot{a}r:100$

Zahl: 32

• Binär: $$\begin{array}{rl}32÷2& =16R0\\ 16÷2& =8R0\\ 8÷2& =4R0\\ 4÷2& =2R0\\ 2÷2& =1R0\\ 1÷2& =0R1\end{array}\uparrow$$ $Bin\ddot{a}r:100000$

Zahl: 50

• Binär: $$\begin{array}{rl}50÷2& =25R0\\ 25÷2& =12R1\\ 12÷2& =6R0\\ 6÷2& =3R0\\ 3÷2& =1R1\\ 1÷2& =0R1\end{array}\uparrow$$ $Bin\ddot{a}r:110010$

Zahl: 128

• Binär: $$\begin{array}{rl}128÷2& =64R0\\ 64÷2& =32R0\\ 32÷2& =16R0\\ 16÷2& =8R0\\ 8÷2& =4R0\\ 4÷2& =2R0\\ 2÷2& =1R0\\ 1÷2& =0R1\end{array}\uparrow$$ $Bin\ddot{a}r:10000000$

Zahl: 1024

• Binär: $$\begin{array}{rl}1024÷2& =512R0\\ 512÷2& =256R0\\ 256÷2& =128R0\\ 128÷2& =64R0\\ 64÷2& =32R0\\ 32÷2& =16R0\\ 16÷2& =8R0\\ 8÷2& =4R0\\ 4÷2& =2R0\\ 2÷2& =1R0\\ 1÷2& =0R1\end{array}\uparrow$$ $Bin\ddot{a}r:10000000000$

Binär in Dezimal

Anleitung zur Umwandlung von Binär in Dezimal

• Schreibe die Binärzahl auf nehmen wir beispielsweise 10010
• Schreibe über jede Ziffer in der Binärzahl die dazugehörige Potzenz
  • Schreibe von der rechten Ziffer aus beginnend $2^0$, $2^1$, $2^2$, …
  • Mache das bis du bei der linkesten Ziffer angekommen bist
• Nun solltest du etwas in dieser Form haben:

$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
1	0	0	1	0

• Nehme nun alle Spalten die eine 1 haben und addiere diese 2er-Potenzen zusammen
• In unserem Beispiel:
  • $2^4+2^1=16+2=18$

Zahl: $11_2$

• Berechnung: $$1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=2+1=3$$
• Dezimal: $$3_{10}$$

---

Zahl: $100_2$

• Berechnung: $$1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0=4+0+0=4$$
• Dezimal: $$4_{10}$$

---

Zahl: $100000_2$

• Berechnung: $$1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0=32+0+0+0+0+0=32$$
• Dezimal: $$32_{10}$$

---

Zahl: $110010_2$

• Berechnung: $$1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0=32+16+0+0+2+0=50$$
• Dezimal: $$50_{10}$$

---

Zahl: $10000000_2$

• Berechnung: $$1\cdot 2^7+0\cdot 2^6+0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0=128+0+0+0+0+0+0+0=128$$
• Dezimal: $$128_{10}$$

---

Zahl: $10000000000_2$

• Berechnung: $$1\cdot 2^{10}+0\cdot 2^9+0\cdot 2^8+0\cdot 2^7+0\cdot 2^6+0\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+0\cdot 2^0=1024+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0=1024$$
• Dezimal: $$1024_{10}$$

---

3. Verrechnen Sie zwei Zahlen parallel im Dezimal- und im Dualsystem und vergleichen sie die Ergebnisse.

Beispiel: Addition im Dezimal- und Dualsystem

Dezimalsystem

Wir nehmen die Zahlen 12 und 5 im Dezimalsystem und führen eine Addition durch:

$12+5=17$

Dualsystem

Zunächst konvertieren wir die Dezimalzahlen 12 und 5 in das Dualsystem:

• Die Zahl 12 wird im Dualsystem als 1100 dargestellt.
• Die Zahl 5 wird im Dualsystem als 101 dargestellt (wir fügen für die Addition vorn Nullen hinzu, um sie auf dieselbe Länge zu bringen: 0101).

Wie funktioniert die Addition im Dualsystem?

Die Addition im Dualsystem funktioniert ähnlich wie im Dezimalsystem, jedoch gibt es nur zwei Ziffern: 0 und 1. Die Regeln sind einfach:

• 0 + 0 = 0
• 1 + 0 = 1 oder 0 + 1 = 1
• 1 + 1 = 10 (dies entspricht 2 im Dezimalsystem, weshalb eine 1 in die nächste Stelle übertragen wird, wie ein Übertrag im Dezimalsystem)

Diese Regeln sorgen dafür, dass bei der Addition von zwei 1en ein Übertrag entsteht, der in die nächste Position geht.

Führen wir die Addition im Dualsystem durch:

$$\begin{array}{rl}& 1100_2\\ +& 0101_2\\ & 10001_2\end{array}$$

Schritt für Schritt:

1. Rechte Spalte: 0 + 1 = 1
2. Nächste Spalte: 0 + 0 = 0
3. Nächste Spalte: 1 + 1 = 10 (also 0 in dieser Spalte und 1 als Übertrag)
4. Nächste Spalte: 1 + 0 + 1 (Übertrag) = 10 (also 0 in dieser Spalte und wieder 1 als Übertrag)
5. Letzte Spalte: Der Übertrag wird in die nächste Spalte geschrieben, was zu einem zusätzlichen 1 führt.

Das Endergebnis ist 10001_2, was der Dezimalzahl 17 entspricht.

Vergleich der Ergebnisse

• Das Ergebnis der Addition im Dezimalsystem ist 17.
• Das Ergebnis der Addition im Dualsystem 10001_2 entspricht ebenfalls der Dezimalzahl 17.

Fazit: Die Addition führt sowohl im Dezimal- als auch im Dualsystem zum selben Ergebnis. Die Regeln zur Addition im Dualsystem sind vergleichbar mit denen im Dezimalsystem, jedoch wird ein Übertrag immer dann erzeugt, wenn zwei 1en addiert werden.

Beispiel: Subtraktion im Dezimal- und Dualsystem

Dezimalsystem

Wir beginnen mit den Dezimalzahlen 25 und 10 und führen eine Subtraktion durch:

$25-10=15$

Dualsystem

Zunächst konvertieren wir die Dezimalzahlen 25 und 10 in das Dualsystem:

• Die Zahl 25 wird im Dualsystem als 11001 dargestellt.
• Die Zahl 10 wird im Dualsystem als 1010 dargestellt (wir fügen vorn eine Null hinzu, damit beide Zahlen dieselbe Länge haben: 01010).

Wie funktioniert die Subtraktion im Dualsystem?

Die Subtraktion im Dualsystem ähnelt der Subtraktion im Dezimalsystem, folgt jedoch den Regeln der binären Mathematik:

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• Wenn wir 0 - 1 subtrahieren müssen, “leihen” wir uns eine 1 von der nächsthöheren Stelle, genau wie im Dezimalsystem.

Führen wir die Subtraktion im Dualsystem Schritt für Schritt durch:

$$\begin{array}{rl}& 11001_2\\ -& 01010_2\\ & 01111_2\end{array}$$

Schrittweise:

1. Rechte Spalte: 1 - 0 = 1
2. Nächste Spalte: 0 - 1 = 1 (wir “leihen” uns eine 1 von der nächsthöheren Stelle, was aus der linken 1 eine 0 macht)
3. Nächste Spalte: 0 - 0 = 0
4. Nächste Spalte: 1 - 1 = 0
5. Letzte Spalte: 1 - 0 = 1

Das Ergebnis der Subtraktion ist 01111_2, was der Dezimalzahl 15 entspricht.

Vergleich der Ergebnisse

• Das Ergebnis der Subtraktion im Dezimalsystem ist 15.
• Das Ergebnis der Subtraktion im Dualsystem 01111_2 entspricht ebenfalls der Dezimalzahl 15.

Fazit: Die Subtraktion liefert sowohl im Dezimal- als auch im Dualsystem dasselbe Ergebnis. Die Regeln der Subtraktion bleiben in beiden Zahlensystemen ähnlich, obwohl die Handhabung der Ziffern aufgrund der binären Natur des Dualsystems leicht anders ist.

Beispiel: Multiplikation im Dezimal- und Dualsystem

Dezimalsystem

Nehmen wir die Zahlen 25 und 10 im Dezimalsystem und führen eine Multiplikation durch:

$25\times 10=250$

Dualsystem

Nun konvertieren wir die Dezimalzahlen 25 und 10 in das Dualsystem:

• Die Zahl 25 im Dualsystem ist 11001

• Die Zahl 10 im Dualsystem ist 1010

• Zur Multiplikation beginnen wir bei der unteren Binärzahl an der rechtesten Stelle und schauen ob diese 1 oder 0 ist

• Wenn diese 1 ist schreiben wir den 1. Faktoren so ab wie er ist falls die hinterste Zahl des 2.Faktoren 0 ist schreiben wir nur 0-er hin, da 0 mal eine Zahl = 0

• Dies führen für wie zuvor genannt von der hintersten Zahl vom 2. Faktor bis zur vordersten Zahl durch, während wir bei den Ergebnissen die Stellen die wir schon abgearbeitet haben mit einem x auffüllen. (siehe unten)

• Am Ende addieren wir dieses Zwischenergebniss welches wir durch verschieben bekommen haben

Führen wir die Multiplikation im Dualsystem durch:

$$\begin{array}{rl}11001& \\ \times 01010& \\ 00000& \\ 11001\text{x}& \\ & \\ 00000\text{xx}& \\ +11001\text{xxx}& \\ 11111010& \end{array}$$

Vergleich der Ergebnisse

• Das Ergebnis der Multiplikation im Dezimalsystem ist 250.
• Das Ergebnis der Multiplikation im Dualsystem 1111101000_2 entspricht ebenfalls der Dezimalzahl 250.

Fazit: Auch hier stimmen die Ergebnisse im Dezimal- und Dualsystem überein.

Division

Erstes Beispiel

$$10011100÷110=011010R00$$

Zweites Beispiel

$$1100101÷111=01110R11$$

---

4. Stellen Sie die Zahl -15 mit Hilfe des Zweierkomplements im Dualsystem dar.

Wichtiges Know-How zum Zweierkomplement

• Definition: Das Zweierkomplement ist eine Methode zur Darstellung negativer Zahlen im Binärsystem. Es ist besonders nützlich, weil damit Addition und Subtraktion von Vorzeichen behafteten Zahlen einfacher werden.

• Berechnung:

1. Binärzahl invertieren (alle Bits umkehren, 1 wird zu 0 und 0 wird zu 1).

2. 1 addieren zum invertierten Wert.

• Beispiel: Um das Zweierkomplement von 0101 (5 im Dezimalsystem) zu berechnen:

1. Invertieren: 1010

2. 1 addieren: 1010 + 1 = 1011 (Zweierkomplement von 0101 ist 1011, was -5 darstellt).

• Vorteil: Der Hauptvorteil des Zweierkomplements ist, dass es eine einheitliche Methode für die Darstellung negativer Zahlen bietet und keine speziellen Regeln für Subtraktion oder Addition erfordert. Rechner können so direkt mit Vorzeichen-behafteten Zahlen rechnen, ohne auf unterschiedliche Rechenverfahren zurückgreifen zu müssen.

• Grenzen der Bits: Im Zweierkomplement hängt der darstellbare Wertebereich von der Anzahl der Bits ab:

• Für n Bits kann der Wertebereich dargestellt werden als:

  • Minimale Zahl: $-2^{n-1}$
  • Maximale Zahl: $2^{n-1}-1$

• Beispiel für ein 8-Bit-System:

  • Minimal darstellbare Zahl: $-128$
  • Maximal darstellbare Zahl: $127$

• Beispiel für ein 16-Bit-System:

  • Minimal darstellbare Zahl: $-32,768$
  • Maximal darstellbare Zahl: $32,767$

Anleitung:

• Da wir -15 im Zweierkomplement darstellen wollen, müssen wir zunächst 15 in Binär darstellen, invertieren und dann 1 dazu addieren

$$15\text{ in Bina¨r}=1111$$

Beachte, dass wir mindestens 5 Bit brauchen um es im Zweierkomplement darzustellen, da $-2^{n-1}$ die minimale Zahl für $n$ Bit angibt

$$15\text{ in Bina¨r in 5 Bit}=01111$$

• Dies muss nun invertiert werden

$$15\text{ in Bina¨r und invertiert}=10000$$

• jetzt muss 1 draufaddiert werden

$$15\text{ in Bina¨r, invertiert und addiert}=10001$$

Das Ergebnis lautet also

$$(-15{)}_{10}=10001_2$$

Anleitung: Rückführung von Binärdarstellung zur Dezimaldarstellung (Zweierkomplement)

1. Prüfen:

   • Höchstwertiges Bit (1) = negative Zahl im Zweierkomplement.

2. Invertieren:

   • Invertiere alle Bits.

3. Addieren:

   • Addiere 1 zur invertierten Zahl.

4. Umwandeln:

   • Berechne den Dezimalwert der positiven Binärzahl.

5. Vorzeichen:

   • Setze das negative Vorzeichen.

Beispiel:

• 10001_2 → invertieren → 01110 → +1 → 01111 → Dezimal: 15 → Ergebnis: -15.

Zweierkomplement vs. Einerkomplement: Einfach erklärt

• Einerkomplement:

• Was es macht: Wenn du eine negative Zahl darstellen willst, drehst du einfach alle 1en und 0en der positiven Zahl um.

  • Beispiel: Für 15 schreibst du 01111 und drehst es um zu 10000, um -15 darzustellen.

• Problem: Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, 0 darzustellen: einmal als 00000 (positive Null) und einmal als 11111 (negative Null). Das kann zu Verwirrung führen und macht die Berechnung schwieriger.

• Warum es nicht mehr benutzt wird: Wegen der doppelten 0 ist es unpraktisch, und daher wird es kaum noch verwendet.

• Zweierkomplement:

• Was es macht: Du drehst wieder alle 1en und 0en der positiven Zahl um, aber dann addierst du noch 1, um die negative Zahl zu bekommen.

  • Beispiel: Für 15 drehst du 01111 um zu 10000 und fügst 1 hinzu, was 10001 ergibt, um -15 darzustellen.

• Warum es besser ist: Es gibt nur eine Art, 0 darzustellen, und es macht das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen viel einfacher.

• Warum es überall verwendet wird: Es ist effizient und sorgt dafür, dass Computer leicht mit negativen Zahlen rechnen können, ohne dass es zu Problemen kommt.