6-Bausteine und Schaltungen

Das wusste schon de Morgan

Aufgabenstellung

Die boolesche Operation $\text{And }(\wedge )$ kann unter Verwendung der booleschen Operation $\text{Not }(\neg )$ aus der booleschen Operation $\text{Or }(\vee )$ erzeugt werden. Und auch umgekehrt, $\text{Or }(\vee )$ kann aus $\text{And }(\wedge )$ unter Verwendung von $\text{Not }(!)$ erzeugt werden.

Bauen Sie $\text{And}$ und $\text{Or}$. Entwickeln Sie zunächst die benötigen Formeln und entwerfen Sie dann die dazu entsprechenden Schaltungen.

Grundlagen

A	B	A $\wedge$ B	A $\vee$ B
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

De Morganschen Gesetze

NOT (A AND B) ist dasselbe wie (NOT A) OR (NOT B)

$$\begin{array}{rl}\neg (A\wedge B)& =\neg A\vee \neg B\end{array}$$

A	B	$\neg (A\wedge B)$	$(\neg A)\vee (\neg B)$
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	0

NOT (A OR B) ist dasselbe wie (NOT A) AND (NOT B):

$$\begin{array}{rl}\neg (A\vee B)& =\neg A\wedge \neg B\end{array}$$

A	B	$\neg (A\vee B)$	$(\neg A)\wedge (\neg B)$
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	0	0

Schaltplan zu De Morgan

Aus den De Morganschen Gesetzen können wir nun AND und OR herleiten

AND

• Aus dem ersten De Morganschen Gesetz gilt

$$\begin{array}{rl}\neg (A\wedge B)& =\neg A\vee \neg B\end{array}$$

• Dies negieren wir nun nochmal um durch die Doppelte Negierung, die Negierung aufzuheben

$$\begin{array}{rl}\neg \neg (A\wedge B)& =\neg (\neg A\vee \neg B)\\ & =A\wedge B\end{array}$$

OR

• Aus dem zweiten De Morganschen Gesetz gilt

$$\begin{array}{rl}\neg (A\vee B)& =\neg A\wedge \neg B\end{array}$$

• Dies negieren wir nun nochmal um durch die Doppelte Negierung, die Negierung aufzuheben

$$\begin{array}{rl}\neg \neg (A\vee B)& =\neg (\neg A\wedge \neg B)\\ & =A\vee B\end{array}$$

Zaun oder Gatter – das ist hier die Frage

Untersuchen Sie anhand von Wahrheitstafeln, ob

!a !b c + !a b !c + a !b !c + a b c

und

Xor( Xor(a,b), c)

identisch sind.

Lösung

Um die beiden Ausdrücke $!a!bc+!ab!c+a!b!c+abc$ und $Xor(Xor(a,b),c)$ anhand von Wahrheitstafeln zu vergleichen, erstellen wir zunächst die Wahrheitstafeln für beide Ausdrücke und prüfen dann, ob die Ergebnisse in allen Fällen übereinstimmen.

Wahrheitstafel für $!a!bc+!ab!c+a!b!c+abc$

a	b	c	!a	!b	!a!bc	!ab!c	a!b!c	abc	!a!bc + !ab!c + a!b!c + abc
0	0	0	1	1	0	0	0	0	0
0	0	1	1	1	1	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0	0	1	1

Wahrheitstafel für $Xor(Xor(a,b),c)$

1. Berechnen wir zunächst $Xor(a,b)$: $$a\oplus b=a{b}^{\prime }+a^{\prime }b$$

a	b	a ⊕ b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

2. Berechnen wir dann $Xor(Xor(a,b),c)$: $$(a\oplus b)\oplus c=(a\oplus b)c^{\prime }+(a\oplus b{)}^{\prime }c$$

a	b	c	a ⊕ b	(a ⊕ b) ⊕ c
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	1	1
0	1	1	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	1	0	1

Vergleich der Wahrheitstafeln

a	b	c	!a!bc + !ab!c + a!b!c + abc	(a ⊕ b) ⊕ c
0	0	0	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

Wir sehen, dass die Ergebnisse in allen Fällen übereinstimmen. Daher sind die beiden Ausdrücke $!a!bc+!ab!c+a!b!c+abc$ und $Xor(Xor(a,b),c)$ identisch.